PROJEKCIE (PREMIETANIE)
 -------------------------

  Rovnobezne premietanie
 ------------------------

dane
  bud - priemetnou (rovina, urcime aj suradnicovy system)
      - smerom premietania (vektor, priamka, dvojica uhlov (azimut a elevacia) ...)
        tak, aby smer nebol rovnobezny s rovinou
      (vhodne na zadavanie - nazorne, synteticka, deskriptivna geometria)
  alebo - maticou
          (vhodne na vypocet, analyticka geometria, reprezenatia v pocitaci)

obrazom bodu p v 3D je bod b priemetni, ktory dostaneme ako
prienik premietacej priamky (...) s priemetnou

premietanie - kolme
            - sikme

Priklad 1:

  priemetna - rovina xy
    suradnicove osi totozne s osami x,y v priestore
  smer - z-os

  t.j. je to kolme premietanie, v podstate "zabudneme" z-suradnicu
  z "axialnej" kocky vidime prednu (a zadnu) stenu

  (x,y,z) -> (x,y), inak x' = x
                         y' = y
  maticovo...

  prilis jednoduche, nie velmi poucne

Priklad 2:

  premietanie zname zo skoly - z-smery sa nanesu v 45 deg a skratia o polovicu
  (obrazok kocky aj s hodnotami)

  (x,y,z) -> (x - 1/(2*sqrt(2))z, y - 1/(2*sqrt(2))z) ( = (x',y') )
  maticovo...

  priemetna - rovina xy
    suradnicove osi totozne s osami x,y v priestore
  smer premietania: vektor (1/(2*sqrt(2)), 1/(2*sqrt(2)), -1)  ( ... overit)

  (obe vyjadrenia sme si "odvodili" navzajom nezavisle)

  vyzera komplikovanejsie, neprirodzenejsie, ale dava viac informacii
  o technickych objektoch

Priklad 3:

  "izometria" - mozem merat v smere obrazov osi x,y,z
  kolme premietanie do roviny prechadzajucej cez jednotkove body

  priemetna: x+y+z = 1
  smer: (1,1,1)

  (odvodzovacky, vid papier)

  ina mozna strategia: natocit vsetko tak, aby suradnice v priemetni
    splynuli s dvoma zo suradnic v R^3,
    potom staci len najst prienik priamky a roviny a "zabudnut" tretiu suradnicu
    DU - skusit si to odvodit tak

doteraz uvedene premietania: (0,0,0) -> (0,0)
  cize dali sa reprezentovat 2x3 maticami.
  vo vseobecnosti - pouzit rozsirene suradnice -> 3x4 matice
  (mozno s tymi maticami pracovat hned od zaciatku)

ide o afinne zobrazenie R^3 -> R^2
  - rovnobezne priamky sa zobrazia na rovnobezne priamky
  - matica 3x4 ma specialny tvar


  Stredove premietanie
 ----------------------

dane
  bud - priemetnou (zase aj so suradnicami)
      - stredom premietania
        tak aby stred nelezal v priemetni
  alebo - maticou

obrazom bodu p v 3D je bod v priemetni, ktory dostaneme ako
prienik premietacej priamky (...) s priemetnou

nejde o afinne zobrazenie:
  - rovnobezne priamky sa vacsinou zobrazia na roznobezky
  - pri afinnom zobrazeni je pre kazdy bod v R^3 definovany nejaky obraz
    ale teraz jednu celu rovinu venieme zobrazit
  ... ide o projektivne zobrazenie

projektivny priestor 

  afinny priestor (R^3) obohatime o nevlastne body - vektory
  rozsirene suradnice -> homogenne suradnice 
    - jeden bod ich ma vela, nezalezi na skalovani
    - rovnobezne vektory splynu do jedneho nevlastneho bodu
    - pozor, bod (0:0:0:0) neexistuje!
  (matematicku konstrukciu vynechat, to budu mat na inych prednaskach, 
   miesto toho maju to o suradniciach)

Priklad 4:

  stred premietania: zaciatok suradnic
  priemetna: z = d, d nejaka nenulova konstanta (zaporna, kvoli orientacii)
             suradnice - prenesene z R^3

  z podobnosti trojuholnikov:
  (x,y,z) -> (x',y') = (d*x/z, d*y/z)
  resp.
  (x:y:z:1) -> (d*x/z:d*y/z:1) = (x:y:z/d)
  (x:y:z:w) = (x/w:y/w:z/w:1) -> (x/w:y/w:z/dw) = (x:y:z/d) pre w nenulove
  maticovo
   / 1 0  0  0 \     / d 0 0 0 \
  |  0 1  0  0  | = |  0 d 0 0  |
   \ 0 0 1/d 0 /     \ 0 0 1 0 /
  takto to funguje pre vlastne body, povieme, ze nech aj pre nevlastne

  tvar matice -> naozaj to nie je afinne zobrazenie

  pohrat sa s tym:
    ak bod patri xy-rovine, obraz bude nevlastny
    ak vzor je nevlastny mimo xy-roviny, vzor je vlastny - je to priesecnik
      povodne rovnobeznych priamok s danym smerom

Ak su pozorovatel a priemetna v inej pozicii, tak si to zredukovat 
na predchadzajuci priklad
  - posun pozorovatela do (0,0,0)
  - natoc priemetnu kolmo na z


  Suvis rovnobezneho a stredoveho premietania
 ---------------------------------------------

rovnobezne = akoby stredove so stredom v nekonecne

transformovat P^3 tak, aby 
   sa pozorovatel presunul do nekonecna
   priemetna zostala fixnuta

Priklad 5, pokracovanie prikladu 4:

  ide o transformovanie ihlana na hranol, posunutim vrchola no nekonecna
  podmienky:
    - kazdy bod bude mat po transformacii rovnake x'-, y'-, w'-suradnice 
      ako by mal po stredovom premietani 
      -> treba len dopocitat novu z'-suradnicu
      -> matica ma tvar
         / d 0 0 0 \
        |  0 d 0 0  |
        |  A B C D  |
         \ 0 0 1 0 /
    - zvisle priamky nech sa zobrazia do zvislych priamok
      -> (0:1:0:0) nech sa zobrazi na seba (pripadne na svoj nasobok)
      -> B = 0
    - vodorovne priamky v smere osi x podobne
      -> A = 0
    - priemetna nech sa zobrazi sama na seba,
      specialne bod (0:0:d:1) sa zobrazi na (0:0:d^2:d)
      -> D = d(d-C)

  T.j. vysledna matica transformacie:
         / d 0 0   0   \
        |  0 d 0   0    |
        |  0 0 C d(d-C) |
         \ 0 0 1   0   /

  Overit, ze naozaj zlozenim tejto transformacie a *rovnobezneho* premietania
  z prikladu 1 je stredove premietanie z prikladu 4.

Casto sa pouziva postup z prikladu 5, 
  dovod: dovnutra premietania mozno vsunut ine graficke algoritmy napr.

    - odstranovanie neviditelnych ploch
     (popularny z-buffer, v podstate robi rovnobezne premietanie,
      ale niekedy by sme to radi premietli stredovo - krajsie obrazky)

    - orezavanie na viditelny priestor
      (jednoduchsie sa orezava na axialny kvader nez na zrezany ihlan)



  Cvicenie
 ----------
- najst maticu stredoveho premietania na priemetnu x+y+z = 0 z bodu (1,1,1)
  (alebo nieco podobne)